На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой – до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?

   Решение

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром O вписана в четырёхугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K , прямая DO и отрезок EF – в точке N , а прямые BK и CN – в точке M . Докажите, что точки O , K , M и N лежат на одной окружности.

Решение

Пусть вписанная окружность четырёхугольника ABCD касается его стороны AB в точке P . Из точек P и E отрезок OB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB . Докажем, что на этой окружности лежит и точка K . Действительно, поскольку POA – половина центрального угла POF вписанной окружности данного четырёхугольника, а PEF – угол, вписанный в эту окружность, то POA = PEF . Поэтому POK = PEK . Значит, точка K лежит на окружности, проходящей через точки P , O и E , т.е. на окружности с диаметром OB Из доказанного следует, что BKO = 90^o . Аналогично докажем, что CND = 90^o . Значит, из точек K и N отрезок OM виден под прямым углом. Следовательно, точки O , K , M и N лежат на окружности с диаметром OM .

Источники и прецеденты использования