На плоскости дано несколько прямых (больше одной), никакие две из которых не параллельны.
Докажите, что либо найдётся точка, через которую проходят ровно две из данных прямых, либо все прямые проходят через одну точку.

   Решение

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I . Докажите, что проекции точек B и D на прямые IA и IC лежат на одной окружности.

Решение

Очевидно, что середина отрезка BD равноудалена от проекций точек B и D на любую прямую. Докажем, что она равноудалена и от проекций X , Y точки B на IA и IC . Так как BXI= BYI=90^o , точки X , Y лежат на окружности с диаметром BI , т.е. серединный перпендикуляр к отрезку XY проходит через середину BI . Таким образом достаточно доказать, что XY ID . Действительно, в этом случае серединный перпендикуляр к XY будет совпадать со средней линией треугольника BDI и, значит, пройдет через середину BD . Так как точки B , I , X , Y лежат на одной окружности, угол между XY и XA равен углу иежду BY и BI , т.е. BIC-90^o . Следовательно, угол между XY и ID равен AID+ BIC-90^o=90^o .

Источники и прецеденты использования