В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

   Решение

Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.

   Решение

Выведите из неравенства задачи 61401

  а) неравенство Коши-Буняковского:  

  б) неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным:   ≤ ;

  в) неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим:   ≤ .
  Значения переменных считаются положительными.

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC , пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F . Угол AEC в 5 раз больше угла BAF , а угол ABC равен 72^o . Найдите радиус окружности, если AC = 6 .

Решение

Обозначим BAF = α . Тогда AEC = 5α . Вписанные углы ECF и EAF опираются на одну и ту же дугу, поэтому BCE = ECF = EAF = BAF=α .
По теореме о внешнем угле треугольника ABC+ BCE = AEC , или 72^o+α =5α , откуда находим, что α = · 72^o=18^o , значит, AEC = 5α = 5· 18^o=90^o .
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника AEC , — середина гипотенузы AC , поэтому радиус окружности равен половине AC , т.е. 3.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования