Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются похожими, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?
РешениеДля каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?
Решение
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.
Решение 1
Возьмем правильный шестиугольник A1B'C1A'B1C' и такую точку M внутри треугольника A1B1C1, что ∠B1MC1 = 180° – α, ∠C1MA1 = 180° – β,
∠A1MB1 = 180° – γ, где α, β и γ – углы треугольника ABC (эти углы меньше 120╟, потому что F лежит внутри треугольника ABC; отсюда и следует, что точка M лежит внутри треугольника A1B1C1). Пусть прямые, проходящие через A', B' и C' и перпендикулярные A1M, B1M и C1M, образуют треугольник ABC (см. рис.). Очевидно, что он подобен данному треугольнику. Значит, осталось показать, что AA1, BB1 и CC1 являются его медианами, а M – точкой Торричелли (то есть M совпадает с F).
Пусть прямая, проходящая через C1 и параллельная AB, пересекает CA и CB в точках P и Q соответственно а T – точка пересечения прямых A1M и CB. Так как ∠A1TA' = 90°, T лежит на описанной окружности шестиугольника A1B'C1A'B1C' и четырёхугольник MC1QT вписанный. Следовательно,
∠C1QM = ∠C1TM = ∠C1TA1 = ∠C1B1A1 = 60°. Аналогично, ∠QPM = 60°, то есть треугольник MPQ равносторонний, а C1 – середина PQ. Рассмотрев гомотетию с центром C, получаем, что CC1 – медиана, а CM проходит через третью вершину равностороннего треугольника с основанием AB и, значит, через точку Торричелли.
Решение 2
Пусть AP – первая точка Аполлония треугольник ABC (см. рис.). Её педальный треугольник A0B0C0 правильный. Точки Аполлония и Торричелли изогонально сопряжены (см. статью А.В. Акопяна и А.А. Заславского "Разные взгляды на изогональное сопряжение"). Следовательно, их педальные треугольники имеют общую описанную окружность ω (см. задачу 56954).
Определим точку A1. Пусть E – проекция F на BC, тогда E лежит на ω. Прямая EF пересекает ω вторично в точке A1. Угол A0EA1 – прямой, следовательно, A0A1 – диаметр. Аналогично определяются точки B1 и C1. Треугольники A1B1C1 и A0B0C0 центрально симметричны относительно центра окружности ω. Следовательно, шестиугольник A1B0C1A0B1C0 правильный. Осталось доказать, что точки A1, B1 и C1 лежат на соответствующих медианах. Это можно сделать так же, как в решении 1.
