Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

   Решение

На стороне CD ромба ABCD нашлась такая точка K, что  AD = BK.  Пусть F – точка пересечения диагонали BD и серединного перпендикуляра к стороне BC. Докажите, что точки A, F и K лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.

Подсказка

Меньшая боковая сторона трапеции – общий катет двух прямоугольных треугольников.

Решение

Первый способ. Пусть BC – меньшее основание трапеции, AB – меньшая боковая сторона, AD – большее основание. По теореме Пифагора
AC² – BC² = AB² = BD² – AD²,  то есть  BD² – AC² = AD² – BC².

Второй способ. Построив параллелограмм ACBE, мы сведем задачу к задаче 54248.

Источники и прецеденты использования