Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

   Решение

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

   Решение

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Решение

Из условия следует, что радиус r_c вневписанной окружности, касающейся стороны AB треугольника ABC, равен высоте h_c, проведённой к этой стороне. Поскольку площадь треугольника  S = (p – c)r_c = ½ ch_c,  то  c = 2(p – c),  то есть  c = ^2p/₃.

Источники и прецеденты использования