На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.

   Решение

Темы:    [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Произвольные многоугольники ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

Решение

Возьмем на плоскости произвольную прямую l и спроецируем на нее все многоугольники. При этом мы получим несколько отрезков, любые два из которых имеют общую точку. Рассмотрим левые концы этих отрезков и выберем из них самый правый (чтобы стало ясно, что значит «правый» и «левый», на прямой нужно задать направление). Полученная точка принадлежит всем отрезкам, поэтому проведенный через нее перпендикуляр к прямой l пересекает все данные многоугольники.

Источники и прецеденты использования