Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Будем называть точку плоскости узлом, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.
|
|
 |
Условие
Натуральное число n назовём хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа n + 1.
Найдите все хорошие натуральные числа.
Решение
Ясно, что n = 1 удовлетворяет условию. Также ему удовлетворяют все нечётные простые числа: делители такого числа p, увеличенные на 1, есть 2 и
p + 1; оба они делят p + 1.
С другой стороны, у любого числа n, удовлетворяющего условию, есть делитель 1; значит, n + 1 делится на 1 + 1, то есть n нечётно.
Предположим, что какое-то составное n = ab, где a ≥ b ≥ 2, удовлетворяет условию. Тогда число n + 1 делится на a + 1 и число n + b = (a + 1)b также делится на a + 1. Значит, и число b – 1 = (n + b) – (n + 1) также делится на a + 1. Так как b – 1 > 0, получаем, что b – 1 ≥ a + 1. Но это противоречит неравенству b ≤ a.
Ответ
Единица и все нечётные простые числа.
