Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало бы столько же бензина, сколько во втором?

   Решение

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Диаметры AB и CD окружности S перпендикулярны. Хорда EA пересекает диаметр CD в точке K, хорда EC пересекает диаметр AB в точке L. Докажите, что если CK : KD = 2 : 1, то AL : LB = 3 : 1.

Решение

Возьмем на отрезках AB и CD точки K и L, делящие их в указанных отношениях. Достаточно доказать, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на окружности S. Введем систему координат с началом в центре O окружности S и осями Ox и Oy, направленными по лучам OB и OD. Радиус окружности S можно считать равным 1. Прямые AK и CL задаются соответственно уравнениями  y = (x+1)/3 и y = 2x - 1. Поэтому их общая точка имеет координаты x₀ = 4/5 и y₀ = 3/5. Ясно, что  x₀² + y₀² = 1.

Источники и прецеденты использования