Версия для печати
Убрать все задачи

---

Трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ вписана в окружность с центром $O$. Из точки $A$ к описанной окружности треугольника $CDO$ проведены касательные $AP$ и $AQ$. Докажите, что описанная окружность треугольника $APQ$ проходит через середину основания $AB$.

   Решение

---

Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?

   Решение

Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

Подсказка

Если r и R — радиусы окружностей, то AB = .

Решение

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования