Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

   Решение

---

Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC . Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABM , в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM . Может ли отрезок AM оказаться медианой треугольника ABC ?

   Решение

---

Пусть О – центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n,  X – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
   a)  

   б)   

   Решение

---

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

   Решение

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

Решение

а) Пусть   = ^m/_n,  где натуральные числа m и n взаимно просты. Тогда  m³ = 17n³.  Значит, m кратно 17, а n – нет. Следовательно, левая часть делится на 17³, а правая не делится. Противоречие.

б) Пусть    рационально, тогда и    рационально. Значит, и    рационально. Но иррациональность    доказывается аналогично а).

в) Пусть число  a =   рационально. Тогда    то есть число     рационально. Но это не так, что доказывается аналогично б).

г) Пусть число  b =   рационально. Тогда    Значит, и    рационально, что не так.

д) Пусть число  cos 10°  рационально. Тогда и число    рационально, что не так.

е) Пусть число  x = tg 10°  рационально. Тогда и число     рационально, что не так.

ж) Пусть число  sin 1°  рационально. Тогда и числа  sin 3°,  sin 6°  и  sin 18°  рациональны. Но     – число иррациональное. Противоречие.

з) Пусть  log₂3 = ^m/_n,  где натуральные числа m и n взаимно просты. Тогда  3ⁿ = 2^m,  что неверно.

Источники и прецеденты использования