Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

   Решение

Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

Решение

Пусть наибольшая сторона AB многоугольника касается вписанной окружности в точке K, а BC и AD – соседние стороны. Тогда  BC > BK,  AD > AK,  значит,
BC + AD > AB,  и из сторон AB, AC и BC можно составить треугольник.

Замечания

баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4

Источники и прецеденты использования