Задача 66754

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,11

Условие

Авторы: Бакаев Е.В., Кожевников П.А., Богданов И.И., Расторгуев В.

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

Решение

Искомый луч – геометрическое место лежащих внутри угла точек, для которых отношение расстояний до серой и чёрной сторон равно отношению $\frac{r_1}{r_2}$ радиусов серой и чёрной окружностей.

Дальнейшие рассуждения практически повторяют решение задачи 66747. Ясно, что луч $A'A$ содержит указанный выше луч и обладает тем же свойством по отношению к прямым $A'O_{1}$ и $A'O_{2}$. Поэтому этот луч пересекает дугу $O_{1}O_{2}$ в такой точке $K$, что  $O_{1}K : O_{2}K = 2R \sin\angle O_{1}A'K : 2R \sin\angle O_{2}A'K = \sin\angle O_{1}A'K:\sin\angle O_{2}A'K = A'A \sin\angle O_{1}A'K:A'A \sin\angle O_{2}A'K=r_{1} : r_{2}$.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3