Задача 67058

Тема:    [ Неравенства с модулями ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Дидин М.

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

Решение

  Докажем, что для любых трёх ненулевых чисел  $a < b < c$  одна из шести разностей  $b$ – $a$,  $c$ – $b$,  $c$ – $a$,  $|\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{b}|$,  $|\frac{1}{b}$ – $\frac{1}{c}|$,  $|\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{c}|$  не превосходит 1,5. Не умаляя общности, хотя бы два числа положительны.

  Способ 1. Предположим противное. Заменой всех чисел на обратные к ним можно добиться того, чтобы наименьшее число $a$ было не меньше –1. Тогда среднее число  $b$ > 0,5,
а наибольшее  $c$ > 2.  При этом   $\frac{1}{b} - \frac{1}{c} > \frac{3}{2}$.  Значит,  $b$ < ⅔ < 1  и  $a$ < 0.  Получаем систему неравенств  $-a > \frac{3}{2}-b$,  $- \frac{1}{a} > \frac{3}{2} - \frac{1}{c} > 3 - \frac{1}{b}$.   Перемножив, получим  $1 > (\frac{3}{2}-b)(3 - \frac{1}{b})$,  то есть  $2b > (3 - 2b)(3b - 1)$.  Раскрыв скобки и перенеся всё в левую часть, получим  $6b^2 - 9b$ + 3 > 0,  то есть  $(b-1)(2b-1) > 0$.  Противоречие.

  Способ 2. Разберём возможные случаи.
  1)  $a$ > 0.  Если  $b$ ≤ 1,  то  $b - a$ < 1;  если  $b > 1$,  то  $\frac{1}{b} - \frac{1}{c}$ < 1.
  2)  $a$ < 0.  Можно считать, что  $bc$ ≤ 1  (иначе заменим все числа на обратные). Пусть  $b - a$ > 1,5  и  $c - b$ > 1,5.  Тогда  $b(b + 1,5) < bc$ ≤ 1 = 0,5(0,5 + 1,5).  Значит,  $b$ < 0,5.
  Следовательно,  $\frac{1}{c} - \frac{1}{a} < \frac{1}{1,5 + b} + \frac{1}{1,5 - b} = \frac{3}{2,25 - b^2} < \frac{3}{2,25 - 0,25} = \frac{3}{2}.$

Ответ

При  $k$ = 1,5.

Замечания

1. Улучшить результат нельзя: для чисел  $-1, \frac{1}{2}, 2$  все шесть разностей не меньше $\frac{3}{2}$.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	43
Дата	2021/22
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4