Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.

   Решение

Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложите из них квадрат.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Куб ] [ Разложение на множители ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

Решение

  Задача сводится к решению в натуральных числах, бóльших 1, уравнения  x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²) = 98.
  Очевидно, второй множитель больше первого. Кроме того,  x – y  не делится на 3, поэтому  x² + xy + y² = (x – y)² + 3xy ≡ 1 (mod 3).  Единственное разложение числа 98, удовлетворяющее этим условиям – это 2·49. Поэтому  x² + xy + y² = 49,  x – y = 2,  xy = 15.  Отсюда  x = 5,  y = 3.

Ответ

125.

Замечания

1. Ср. с задачей 98336.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования