а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

   Решение

Темы:    [ Построения ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

Подсказка

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания.

Решение

Если данный центр лежит на данной окружности или совпадает с её центром, то задача не имеет решения. Рассмотрим остальные случаи.

Обозначим через R радиус данной окружности, O — центр. Пусть данная точка (центр искомой окружности) лежит вне данной окружности. Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, то радиус искомой окружности равен MO - R (внешнее касание) или MO + R (внутреннее касание).

Если M лежит внутри данной окружности, то задача также имеет два решения. В этом случае радиус искомой окружности равен R + MO (внутреннее касание) или R - MO (также внутреннее касание).

Источники и прецеденты использования