Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KCDL, если площадь треугольника ABC равна 24.
Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.
Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что d² = a² + ad.
Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.
|
|
 |
Условие
Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O
так, что OA = OB = b.
В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a.
Найдите CE.
Подсказка
Достройте данный треугольник до прямоугольника и воспользуйтесь утверждением:
"Суммы квадратов расстояний от произвольной точки до противоположных вершин
прямоугольника равны".
Решение
Пусть M и N — проекции точек соответственно O и E на гипотенузу AB.
Заметим, что M середина AB.
Поскольку
ENOM
CD и E — середина OC, то
EN — средняя линия трапеции COMD, поэтому N — середина отрезка
MD. Высота EN треугольника DEM является его медианой, поэтому треугольник
DEM — равнобедренный. Следовательно, EM = ED = a.
На продолжении отрезка CM за точку M отложим отрезок MF, равный CM.
Тогда ACBF — прямоугольник, EM — средняя линия треугольника COF,
OF = 2 . EM = 2a.
Таким образом, нам известны расстояния от точки O до трёх вершин прямоугольника
ACBF. Поскольку
OC2 + OF2 = OA2 + OB2, то
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3791 |
