Версия для печати
Убрать все задачи

---

Какими должны быть значения a и b,  чтобы многочлен   x⁴ + x³ + 2x² + ax + b был полным квадратом?

   Решение

---

Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили 2007. Каким могло быть исходное число?

   Решение

---

В некоторый угол B вписаны две непересекающиеся окружности. Окружность большего радиуса касается сторон этого угла в точках A и C, меньшего — в точках A₁ и C₁(точки A, A₁ и C, C₁ лежат на разных сторонах угла B). Прямая AC₁ пересекает окружности большего и меньшего радиусов в точках E и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников ABC₁ и A₁BC₁, если A₁B = 2, EF = 1, а длина AE равна среднему арифметическому длин BC₁ и EF.

   Решение

---

Пусть многочлен  P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₀  имеет хотя бы один действительный корень и  a₀ ≠ 0.  Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a₀ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

   Решение

---

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B₀ – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A₁C₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB₀ и PQ параллельны.

   Решение

---

Найдите расстояние между точкой  A(1, 7)  и точкой пересечения прямых  x – y – 1 = 0  и  x + 3y – 12 = 0.

   Решение

---

В трапеции KLMN известно, что LMKN, KLM = , LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь треугольника AMN.

   Решение

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции KLMN известно, что LMKN, KLM = , LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь треугольника AMN.

Подсказка

Пусть прямые NM и KL пересекаются в точке P, а AB — высота треугольника AMN. Выразив sinKPN из прямоугольных треугольников PLM, найдите AB.

Решение

Пусть прямые NM и KL пересекаются в точке P, а AB — высота треугольника AMN. Обозначим KPN = . Из прямоугольных треугольников PLM, PBA и PKN находим, что

Перемножив почленно равенства

получим, что = , а т.к. по теореме о касательной и секущей AP² = PM ^. PN, то AB² = LM ^. KN = kl.

Следовательно,

Ответ

.

Источники и прецеденты использования