Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
У отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Отец ответил, что если к произведению их возрастов добавить сумму этих возрастов, то получится 34.
Сколько лет сыновьям?
В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром.
Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?
Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой l так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная l, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой l так, чтобы другие их катеты лежали на прямой l, то также найдётся прямая, параллельная l , пересекающая их по равным отрезкам.
Даны три вектора ,
и
.
Докажите, что вектор
перпендикулярен вектору
(
·
)
-
(
·
)
.
Метрополитен города Глупова состоит из единственной одноколейной линии. В
нулевой момент времени с начальной и конечной станций этой линии навстречу
друг другу начинают двигаться два поезда. Их движение подчиняется
следующим правилам.
Отъезжая со станции, поезд сначала разгоняется, потом некоторое
(возможно нулевое) время движется с максимальной скоростью, затем
замедляется и, в конце концов, останавливается на очередной станции.
Поезда останавливаются на всех промежуточных станциях метрополитена.
На каждой из станций поезда стоят одно и тоже фиксированное время.
Поезда разгоняются и замедляются с одинаковым, постоянным ускорением.
Поезда имеют одинаковую максимальную скорость.
Поезда всегда разгоняются до максимальной скорости, если это не мешает
остановиться на следующей станции. Иначе они разгоняются, пока это
возможно, а затем сразу же начинают тормозить.
Требуется определить, где и когда поезда столкнутся. «Где» определяется
расстоянием от начальной станции до места столкновения, «когда» –
временем, когда произойдет столкновение.
Входные данные
В первой строке входного файла содержится целое число N (2 ≤ N ≤ 100) –
количество станций на линии. Во второй строке записано
N-1 вещественное число – расстояние от начальной станции до второй, от начальной до третьей,
..., от начальной до конечной станции. В третьей строке файла записаны три
вещественных числа A, V, S – ускорение, максимальная скорость и время
пребывания поезда на станции соответственно.
Выходные данные
В выходной файл вывести расстояние и время с точностью до двух знаков после
десятичной точки.
Пример входного файла
3
0.25 2.25
1 1 1
Пример выходного файла
0.38 2.50
Фигура мамонт бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что ∠PKA = ∠QKD.
Боковая грань образует с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды угол 60o . Найдите угол между соседними боковыми гранями.
В дремучем Муромском лесу растут дубы и осины. Известно, что дубы составляют 99% всех деревьев. Илья Муромец вырубил часть дубов, так что в лесу стало 98% дубов. Какую (в процентах) часть леса вырубил Илья Муромец?
Заданы N-вершинный ориентированный граф с двумя выделенными вершинами
v1
и v2
и целое число C. Требуется:
1) определить, существует ли в заданном графе путь из вершины v1
в вершину v2, состоящий из C ребер (путь может иметь самопересечения как по
вершинам, так и по ребрам);
2) найти минимум функции |
X
-
C
|, где X – количество ребер в некотором пути из v1
в v2
.
Входные данные
Первая строка входного файла содержит целое число N – количество вершин в
графе (1 ≤ N ≤ 10). В следующих N строках расположена матрица
N × N из нулей и единиц, элемент (i, j) которой равен единице, если в графе есть ребро из
вершины i в вершину j, и нулю, если такого ребра нет. (Граф может содержать
петли, т.е. ребра, идущие из вершины в саму себя). Элементы матрицы во
входном файле записаны без разделительных пробелов.
Наконец, строка N+2 содержит номера вершин v1
и v2
, а строка N+3 – десятичную запись числа C (1 &le C <
1050).
Выходные данные
В первую строку выходного файла выведите ответ на первый пункт задачи:
«Yes», если путь длины C существует, и «No», если нет. Во вторую строку
запишите ответ на второй пункт задачи. Если ни одного пути из v1
в v2
не существует, ваша программа должна вывести -1.
Пример входного файла
3
010
001
100
1 1
555555555555555555555555555555555
Пример выходного файла
Yes
0
Решите уравнение: |x - 2005| + |2005 - x| = 2006.
Основание пирамиды Хеопса — квадрат, а её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Буратино лазил наверх и измерил угол грани при вершине. Получилось 100o. Может ли так быть?
Два многоугольника на плоскости заданы координатами своих вершин.
Требуется вычислить площадь пересечения этих многоугольников, то есть
сумму площадей тех кусков, которые образуются при их пересечении и
принадлежат каждому из них. При этом вы можете предполагать, что:
А) Многоугольники выпуклые, а координаты их вершин даны в произвольном
порядке.
Б) Хотя бы один из многоугольников невыпуклый, но известно, что у каждого
из многоугольников не более одного угла, большего 180 градусов, а координаты
вершин даны в порядке обхода по часовой стрелке.
Ваша программа по входным данным должна сама определить, какой из этих
двух случаев имеет место.
Входные данные
Первая строка входного файла содержит целое число N – количество вершин в
первом многоугольнике (3 ≤ N ≤ 50). Во второй строке записаны координаты
этих вершин. Третья и четвертая строки таким же образом задают второй
многоугольник. Координаты всех вершин являются целыми числами из
диапазона [-32768, 32767].
Выходные данные
Выведите в выходной файл искомую площадь не менее чем с 6 верными
значащими цифрами.
Пример входного файла
3
0 3 0 -3 -3 0
5
-1 1 2 1 1 0 2 -1 -1 -1
Пример выходного файла
2.0
|
Название задачи: Пересечение многоугольников . |
 |
Условие
Два многоугольника на плоскости заданы координатами своих вершин.
Требуется вычислить площадь пересечения этих многоугольников, то есть
сумму площадей тех кусков, которые образуются при их пересечении и
принадлежат каждому из них. При этом вы можете предполагать, что:
А) Многоугольники выпуклые, а координаты их вершин даны в произвольном
порядке.
Б) Хотя бы один из многоугольников невыпуклый, но известно, что у каждого
из многоугольников не более одного угла, большего 180 градусов, а координаты
вершин даны в порядке обхода по часовой стрелке.
Ваша программа по входным данным должна сама определить, какой из этих
двух случаев имеет место.
Входные данные
Первая строка входного файла содержит целое число N – количество вершин в
первом многоугольнике (3 ≤ N ≤ 50). Во второй строке записаны координаты
этих вершин. Третья и четвертая строки таким же образом задают второй
многоугольник. Координаты всех вершин являются целыми числами из
диапазона [-32768, 32767].
Выходные данные
Выведите в выходной файл искомую площадь не менее чем с 6 верными
значащими цифрами.
Пример входного файла
3
0 3 0 -3 -3 0
5
-1 1 2 1 1 0 2 -1 -1 -1
Пример выходного файла
2.0
Решение
Скачать архив тестов и решений
Отсортируем вершины каждого из многоугольников по полярному углу
относительно его центра масс. Если в результате получились два выпуклых
многоугольника (для проверки выпуклости используйте критерий из задачи 4.1),
значит нам предстоит решать пункт А, иначе – пункт Б.
Разберем пункт А. Очевидно, что пересечение двух выпуклых многоугольников также является выпуклым многоугольником. Какие точки будут его вершинами? Во-первых, все точки пересечения двух многоугольников. Чтобы их найти, нужно пересечь все стороны одного многоугольника со всеми сторонами другого. Во-вторых, все вершины первого многоугольника, принадлежащие второму, и наоборот, все вершины второго, принадлежащие первому. Определив все вершины пересечения, упорядочим их, отсортировав по полярному углу относительно центра масс. Далее считаем площадь получившегося многоугольника.
Пункт Б сводится к пункту А следующим образом. Прямая, проведенная через любую из сторон угла, большего 180 градусов, разбивает невыпуклый многоугольник на два выпуклых. Пересекая получившиеся выпуклые многоугольники (как в пункте А) и суммируя площади их пересечений, найдем ответ на пункт Б.
