Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD с основаниями BC и AD , причём BC:AD = 2:5 . Диагонали трапеции пересекаются в точке E , а центр O вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO:OE = 7:2 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 8.
Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A); из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности. Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.
В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.
Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие – на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких – какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть – в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.
(Песок все время сыплется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится.)
В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты такие точки X и Y, что ∠ABX = ∠YAC, ∠AYB = ∠BXC, XC = YB. Найдите углы треугольника ABC.
Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.
|
|
 |
Условие
Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.
Подсказка
Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b.
Решение
Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b = 2(a + b). Отсюда 8a = b, то есть a = 1, b = 8.
Можно показать, что других решений нет (идея: самое маленькое трёхзначное число — 100, а самая большая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9 = 27). Но это на олимпиаде не требовалось.
Ответ
0; 18.
