Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Назовём натуральное число хорошим, если все его цифры ненулевые. Хорошее число назовём особым, если в нём хотя бы k разрядов и цифры идут в порядке строгого возрастания (слева направо).
Пусть имеется некое хорошее число. За ход разрешается приписать с любого края или вписать между любыми его двумя цифрами особое число или же, наоборот, стереть в его записи особое число. При каком наибольшем k можно из каждого хорошего числа получить любое другое хорошее число с помощью таких ходов?
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BH выбрана произвольная точка P. Точки A' и C' – середины сторон BC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A' на CP, пересекается с перпендикуляром, опущенным из C' на AP, в точке K. Докажите, что точка K равноудалена от точек A и C.
На плоскости даны два отрезка A1B1 и A2B2, причём A2B2/A1B1 = k < 1. На отрезке A1A2 взята точка A3, а на продолжении этого отрезка за точку А2 – точка А4 так, что A3А2/А3А1 = А4А2/А4А1 = k. Аналогично на отрезке В1В2 берётся точка В3, а на продолжении этого отрезка за точку В2 – точка В4 так, что
В3В2/В3В1 = В4В2/В4В1 = k. Найти угол между прямыми А3В3 и А4В4.
|
|
 |
Условие
На плоскости даны два отрезка A1B1 и A2B2, причём A2B2/A1B1 = k < 1. На отрезке A1A2 взята точка A3, а на продолжении этого отрезка за точку А2 – точка А4 так, что A3А2/А3А1 = А4А2/А4А1 = k. Аналогично на отрезке В1В2 берётся точка В3, а на продолжении этого отрезка за точку В2 – точка В4 так, что
В3В2/В3В1 = В4В2/В4В1 = k. Найти угол между прямыми А3В3 и А4В4.
Решение 1
Пусть O – центр не сохраняющего ориентацию подобия, переводящего A1 в A2 и B1 в B2. Так как треугольники OA1B1 и OA2B2 подобны,
∠A1OB1 = ∠B2OA2 и биссектрисы углов A1OA2 и B1OB2 совпадают. Так как OA2 : OA1 = OB2 : OB1 = k, эта общая биссектриса пересекает отрезки A1A2 и B1B2 в точках A3 и B3, а перпендикулярная ей прямая пересекает продолжения этих отрезков в точках A4 и B4 (рис. слева). Следовательно, искомый угол прямой.
Решение 2
Пусть по условию |v|² = k²|u|². Тогда
(*)
С другой стороны, (**)
Умножив (*) на k/1+k, (**) на 1/1+k и сложив полученные равенства, имеем
Аналогично получаем Отсюда
то есть векторы ортогональны.
Решение 3
Построим параллелограмм A1A2B2X и проведём биссектрису A1Y треугольника A1XB1 (рис. справа). Так как B1Y/XY = A1B1/A1X = k, то B3Y || B2X и
B3Y = kB2X = A1A3. Следовательно, A1A3B3Y – параллелограмм, то есть A3B3 || A1Y.
Аналогично прямая A4B4 параллельна внешней биссектрисе угла XA1B1, и, значит, прямые A3B3 и A4B4 перпендикулярны.
