Доказать, что связный граф можно обойти, проходя по каждому ребру дважды.

   Решение

В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC, а B₂ и C₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

   Решение

На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты точки M и N так, что MN| AC, E — середина отрезка AN, D — центр треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника CDE.

   Решение

а) Докажите, что любой многоугольник можно разрезать на части и сложить из них прямоугольник со стороной 1.
б) Даны два многоугольника равной площади. Докажите, что первый многоугольник можно разрезать на части и сложить из них второй.

   Решение

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Геометрическая прогрессия ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.

Решение

  Пусть  n > 2000,  S_n = a₁ + ... + a_n  – сумма n первых членов и  d_na_n+1 = S_n.  Тогда  d_n+1a_n+2 = S_n+1 = S_n + a_n+1 = (d_n + 1)a_n+1.  Так как  a_n+2 > a_n+1,  то
d_n+1 < d_n + 1,  то есть  d_n+1 ≤ d_n  (это целые числа). Таким образом, последовательность d_n не возрастает. Достаточно доказать, что в этой последовательности каждое число d, кроме 1, может встретиться только конечное число раз.
  Пусть  d_n = d_n+1 = ... = d_n+k = d.  Согласно полученной выше формуле     Числа d и  d + 1  взаимно просты, а a_n+1 может делиться только на конечную степень d.

Замечания

баллы: 8-9 кл. – 7, 10-11 кл. – 5

Источники и прецеденты использования