Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?
б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?
Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?
В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.
Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A1A2...A1998. Из середины стороны A1A2 выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A2A3, A3A4, ..., A1998A1 (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.
В последовательности натуральных чисел {an}, n = 1, 2, ..., каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных n и m выполнено неравенство Докажите, что тогда |an – n| < 2000000 для всех натуральных n.
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).
Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=3 , AC=5 и BD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер AB и CD равно 2, а прямая AB образует равные углы с прямыми AC , BD и MN .
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее k/n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
а) Какие коробки следует купить при n = 10 и k = 3 ?
б) Тот же вопрос для произвольных натуральных n ≥ k.
|
|
 |
Условие
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее k/n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
а) Какие коробки следует купить при n = 10 и k = 3 ?
б) Тот же вопрос для произвольных натуральных n ≥ k.
Решение
Пусть a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an – массы конфет в коробках стоимостью в 1, 2, ..., n у. е. соответственно, а n1 < n2 < ... < nk – номера тех коробок, которые нужно купить.
1. Обозначим mj = jn/k (j = 1, ..., k) и докажем, что для искомого набора номеров должны быть выполнены неравенства nj ≥ mj. (*)
Действительно, предположим, что nj < mj для некоторого j.
Тогда, например, в случае
a1 = ... = anj = nj < anj + 1 = ... = an = n + nj
получаем
a1 + ... + an = nj2 + (n – nj)(n + nj) = n2,
an1 + ... + ank = (k – j)(n + nj) + jnj < (k – j)n + nj = kn,
то есть нарушено требование задачи.
2. Пусть теперь все неравенства (*) верны. Докажем, что тогда требование задачи выполнено.
а) При n = 10, k = 3 имеем n1 ≥ 10/3, n2 ≥ 20/3, n1 ≥ 10, т.е. достаточно взять 4-ю, 7-ю и 10-ю коробки. И действительно:
(добавив к группе чисел число, меньшее их всех, мы уменьшим среднее арифметическое).
б) Положим n0 = m0 = a0 = 0 и возьмём целые числа nj = mj + εj, где 0 ≤ ε < 1. Рассмотрим ступенчатую функцию, задаваемую равенствами f(x) = aj при j – 1 < x ≤ j. Поскольку функция не убывает, её среднее значение на промежутке уменьшается, когда оба конца промежутка сдвигают влево (даже с изменением длины промежутка). (Среднее значение – это площадь под графиком функции на заданном промежутке, деленная на длину этого промежутка.) В частности,
Поэтому
так как все знаменатели равны n/k, nk = mk = n, εk = 0.
Итак, стоимость набора из k коробок, удовлетворяющего требованию задачи, будет наименьшей для наименьших целых чисел nj, удовлетворяющих неравенствам (*).
Ответ
Коробки стоимостью а) 4, 7 и 10 у. е.; б) у. е.
Замечания
Задача восходит к телевизионной игре "Сто к одному", где на
заключительном этапе двум игрокам задают по пять вопросов. На каждый из них заготовлено по пять наиболее популярных (по результатам опроса) ответов, суммарная стоимость которых составляет 100 очков. Ни сами эти ответы,
ни тем более их стоимости, соответствующие их популярности, игрокам не известны.
Если игроки на все вопросы дадут по паре самых популярных из пяти ответов, то заработают за каждый вопрос не менее 100·⅖ = 40 очков, а за все пять вопросов – не менее 200 очков, которые как раз и требуется набрать для выигрыша, то есть игра, в общем-то, честная.
Исходя из решения задачи, можно утверждать, что при любом распределении очков по ответам игрокам позволено немного ошибаться: они заведомо не проиграют, если на каждый вопрос в паре с самым популярным ответом угадают не следующий, а лишь средний по популярности ответ.
