Версия для печати
Убрать все задачи

---

Команда из n школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:
  а) при  n = k = 2;
  б) при произвольных фиксированных n и k?

   Решение

---

В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
  а) не более 460 камней;
  б) не более 461 камня?

   Решение

---

Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.

   Решение

---

У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Теория игр (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

Решение

  Первый случай. Если k > l, то выигрывает Коля: ему достаточно отрезать от k часть, которая будет больше суммы всех остальных.

Например, можно разрезать k на части (рис.)

Тогда самая большая часть l + (k - l ) не может быть стороной никакого треугольника: по неравенству треугольника сумма длин двух остальных сторон должна быть больше, но сумма длин всех остальных отрезков (равная l + (k - l )) меньше длины этой части.

Второй случай. Если kl, то выигрывает Лёва. Пусть Коля разрезал k на части k₁k₂k₃. Тогда Лёва разрежет l так, чтобы его большая часть равнялась большей части отрезка Коли, а две другие были равными между собой (рис.):

Тогда получатся два равнобедренных треугольника:

Действительно, из отрезков a, a, b можно сложить равнобедренный треугольник тогда и только тогда, когда b < 2a. Очевидно, что k₂ < 2k₁. С другой стороны,

так как k₁ + k₃ < kl.

Источники и прецеденты использования