Информация о задаче

Задача 107804

Темы:	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Галочкин А.И.

Докажите, что если для чисел a, b и c выполняются неравенства | a - b| $\ge$ | c|, | b - c| $\ge$ | a|, | c - a| $\ge$ | b|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.

Решение

Первый способ. Предположим, сначала, что одно из чисел равно нулю. Пусть, например, a = 0 (остальные случаи аналогичны). Тогда получим неравенства: | b| $\ge$ | c| и | c| $\ge$ | b|, откуда | b| = | c|, т. е. b = c или b = - c. В первом случае b = a + c, во втором a = b + c. Все доказано.

Пусть теперь ни одно из чисел a, b и c не равно нулю. Без ограничения общности можно считать, что число a — максимальное по модулю среди чисел a, b и c (т. е. | a| $\ge$ | b|, | a| $\ge$ | c|). Также можно считать, что a > 0 (в противном случае произведем замену: a = - a₁, b = - b₁, c = - c₁). Тогда | a| = a, | a - b| = a - b, | a - c| = a - c.

При этих предположениях из неравенства | b - c| $\ge$ | a| следует, что числа b и c не могут иметь одинаковых знаков (подумайте, почему).

Возможны два случая.

1^o. b > 0, c < 0. Тогда | b| = b, | c| = - c и | b - c| = b - c, так что мы получаем неравенства a - b $\ge$ - c, b - c $\ge$ a, a - c $\ge$ b. Из первого неравенства следует, что b $\le$ a + c, из второго — что b $\ge$ a + c, значит, b = a + c.

2^o. b < 0, c > 0. Тогда, аналогично предыдущему случаю, получим неравенства a - b $\ge$ c, c - b $\ge$ a, a - c $\ge$ - b. Следовательно, в этом случае одновременно выполняются неравенства c $\ge$ a + b, c $\le$ a + b, т. е. c = a + b. Таким образом, в обоих случаях утверждение доказано.

Второй способ. Возведем неравенство | a - b| $\ge$ | c| в квадрат и перенесем все члены в левую часть, получим (a - b)² - c² $\ge$ 0. Разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов, получим: (a - b - c)(a - b + c) $\ge$ 0, или, что то же самое,

(a - b - c)(b - c - a) $\displaystyle \le$ 0.

Аналогично получаем, что произведения (b - c - a)(c - a - b) и (c - a - b)(a - b - c) также неположительны.

Перемножая эти произведения находим, что

(a - b - c)²(b - c - a)²(c - a - b)² $\displaystyle \le$ 0.

Мы видим, что произведение неотрицательных чисел не превосходит 0, значит, одно из этих чисел равно 0, откуда следует требуемое утверждение.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	9
задача
Номер	2