|
|
 |
Условие
Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.
Подсказка
Докажите, что геометрическое место точек пересечения медиан всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность, есть внутренность круга, ограниченного данной окружностью. Далее восползуйтесь теперь тем, что в любом треугольнике точка M пересечения медиан, точка H пересечения высот и центр O описанной окружности лежат на одной прямой (прямой Эйлера).
Решение
Докажем сначала, что геометрическое место точек пересечения медиан указанных треугольников есть внутренность круга, ограниченного данной окружностью. Точка пересечения медиан каждого такого треугольника лежит внутри него и, значит, внутри его описанной окружности.
Пусть M – произвольная точка внутри описанной окружности. Проведем через M диаметр и пусть A – ближайший к M конец этого диаметра. Отложим на продолжении отрезка AM отрезок MK = ½ AM; ясно, что точка К лежит внутри круга. Проведём через К хорду BC, перпендикулярную OК. К будет серединой этой хорды, а M – точкой пересечения медиан треугольника ABC.
В любом треугольнике точка M пересечения медиан, точка H пересечения высот и центр O описанной окружности лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причём точка M лежит между O и H, и OH = 3OM (см. зад. 55595). Из этого следует, что искомое ГМТ – внутренность круга, концентрического данному, а его радиус втрое больше радиуса данного круга.
Ответ
Внутренность круга в 3 раза большего радиуса с тем же центром.
Замечания
7 баллов
