Задача 108067

Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Федотов А.

В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Медиана AD пересекает её в точках X и Y. Найдите угол XOY, если  AC = AB + AD.

Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Докажите, что центр вписанной окружности лежит внутри треугольника ABD и воспользуйтесь методом площадей.

Решение

  Заметим, что  AC = AB + AD > AB,  поэтому биссектриса AO угла BAC проходит между сторонами угла BAD . Следовательно, точка O лежит внутри треугольника ABD и S_ABD = S_OAB + S_OBD + S_AOD.
  Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то  2S_ABD = 2(S_OAB + S_OBD + S_AOD) = S_ABC,  то есть  2r(AB + BD) + 2dAD = r(AB + BC + AC).  Поскольку  AC = AB + AD  и  BC = 2BD,  то  2dAD = r(AB + BC + AC) – 2r(AB + BD) = r(AC – AB) = rAD.  Поэтому  2d = r,  то есть высота равнобедренного треугольника XOY, опущенная на основание XY, равна половине боковой стороны  OX = OY = r.  Следовательно,  ∠XOY = 120°.

Ответ

120°.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4347
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	16
Дата	1994/1995
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3