Задача 108090

Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что  OM = KN.

Решение

  Рассмотрим проекции     и     векторов     и     на хорду AC. N₁ – середина хорды KC, поэтому     M₁ и O₁ – середины хорд AK и AC, поэтому     Таким образом,  
  Аналогично равны проекции векторов     и     на хорду BD. Но вектор полностью определяется своими проекциями на две непараллельные прямые. Поэтому  

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6210
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	11
задача
Номер	3
журнал
Название	"Квант"
год
Год	2000
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1737