Задача 108095

Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Поворот на $90^\circ$ ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и AB , взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно, причём A1B1 MC и A1C1 MB . Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и в треугольнике A1B1C1 .

Решение

Обозначим

=, =, =, =, =, =.
Пусть A2 , B2 и C2 – середины сторон BC , AC и AB соответственно. Тогда
= = · (+)= (-), = -,

= = · (+)= (-), = -.
По условию задачи следующие скалярные произведения равны 0 :
· = · = · = 0,

(-)· (-) = · 3= 3· =0,

(-)· (-) = · 3 = 3· = 0

· + · = · + · =0.
Поскольку =-- и =-- , то
0= · + · = (--)· + (--)· = -· - · .
Аналогично,
0= · + · = (--)· + (--)· = -· - · .
Докажем, что ++= (отсюда будет следовать, что M – точка пересечения медиан треугольника A1B1C1 ). Действительно,
· (++) = · +· =0,

· (++) = · +· =0,
а т.к. векторы и неколлинеарны, то ++=0

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	10
задача
Номер	4
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6215