Задача 108139

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

Решение

Будем считать, что точка K лежит внутри треугольника AOD (все остальные случаи разбираются аналогично). Пусть L' – точка, симметричная точке L относительно прямой BC (рис.1). Тогда

L'BO = OBC- L'BC = OBC - LBC,
но OBC = OAD , т.к. четырёхугольник ABCD вписанный, следовательно,
L'BO = OAD- KAD = OAK = OBK,
т.к. четырёхугольник ABOK вписанный. Аналогично L'CO = OCK . Поскольку четырёхугольники ABCD , ABOK и CDKO вписанные, то
BKO = BAO = CDO = CKO.
Рассмотрим четырёхугольник BL'CK (рис.2). Пусть N – точка пересечения CK и BL' , а M – точка пересечения BK и CL' . По ранее доказанному CO , BO и KO – биссектрисы углов NBK , MCK и MKN , поэтому точка O равноудалена от сторон четырёхугольника ML'NK , т.е. является центром вписанной в него окружности. Пусть P , Q , R , T – точки касания этой окружности со сторонами ML' , L'N , NK и KM соответственно. Тогда
CK+BL'=(CR+KR)+(BQ-L'Q)=CP+KT+BT-L'P =

=(KT+BT)+(CP-L'P)= KB+CL'.
Значит, CK+BL=KB+CL . Следовательно, и четырёхугольник BLCK является описанным, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6489
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	02.5.11.6