Задача 108149

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Описанные четырехугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω₁ касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω₂ касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Решение

  Пусть для определённости точка O лежит на продолжении отрезка AB за точку B. Обозначим через P и Q точки пересечения KL с окружностью ω, через M и N – точки касания сторон BC и AD с ω. Проведём касательные l₁ и l₂ к ω в точках P и Q. Обозначим через α угол между касательной l₁ (или l₂) и хордой PQ.

  При гомотетии с центром O, переводящей окружность ω₁ в окружность ω, касательная BC в точке K перейдёт в l₂; при гомотетии с центром O, переводящей окружность ω₂ в ω, прямая AD перейдёт в l₁. Поэтому  BC || l₂,  AD || l₁ и, следовательно,  ∠LKC = α = ∠KLD.
  Кроме того,  ∠BMN = ∠ANM  как углы между касательной и хордой. Отсюда следует, что четырёхугольник KLNM – равнобедренная трапеция и
∠NMC = ∠MND = α.  Таким образом, хорды PQ и MN параллельны и стягивают равные дуги величины 2α. Следовательно, средняя линия этой трапеции проходит через центр окружности ω. Но середина KM совпадает с серединой BC (см. задачу 55404), и середина LN совпадает с серединой AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6499
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.5.11.7