Найдите все такие простые числа p, что число  p² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

   Решение

Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и n – натуральные числа,  m ≠ n).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

   Решение

В пирамиде ABCD рёбра AD , BD и CD равны 5, расстояние от точки D до плоскости ABC равно 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники CDMN и AEKL, у которых  AL = AB  и
CN = CB.  Докажите, что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей прямоугольников AEKL и CDMN.

   Решение

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники CDMN и AEKL, у которых  AL = AB  и
CN = CB.  Докажите, что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей прямоугольников AEKL и CDMN.

Подсказка

Продолжите высоту BF до пересечения с PQ.

Решение

  Проведём третью высоту BF и продолжим её до пересечения с отрезком PQ в точке T. Прямоугольные треугольники ABF и ACE подобны, поэтому
AE : AC = AF : AB  ⇒  AE·AB = AF·AC  ⇒  S_AEKL = AE·AL = AE·AB = AF·AC = AF·AQ = S_AFTQ.
  Аналогично  S_CDMN = S_CFTP.  Следовательно,  S_ACPQ = S_AFTQ + S_CFTP = S_AEKL + S_CDMN.

Источники и прецеденты использования