Задача 108165

Темы:    [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Точка O лежит внутри ромба ABCD . Угол DAB равен 110^o . Углы AOD и BOC равны 80^o и 100^o соответственно. Чему может быть равен угол AOB ?

Решение

Заметим, что геометрическое место точек O , из которых отрезок AD виден под углом 80^o , и лежащих по ту же сторону от AD , что и точка B , – это дуга окружности, проходящей через точки A и D , а геометрическое место точек O , из которых отрезок BC виден под углом 100^o , и лежащих по ту же сторону от BC , что и точка A , – это дуга окружности, проходящей через точки B и C . Искомая точка O должна лежать на пересечении этих двух дуг. Следовательно, таких точек может быть не более двух. Укажем две точки, удовлетворяющие условию задачи. Первая точка O1 лежит на диагонали AC , причём BO1C = 100^o . Тогда

AO1B = 180^o - BO1C = 80^o,
а т.к. точка D симметрична точке B относительно прямой AC , то
AO1D = AO1B = 80^o,
что и требуется в условии. Аналогично, вторая точка O2 лежит на диагонали BD , причём BO2C = 100^o . В этом случае AO2D = 80^o и AO2B = 100^o . Осталось заметить, что точки O1 и O2 различны (они лежат на разных диагоналях ромба и отличны от точки пересечения диагоналей) и обе лежат внутри ромба.

Ответ

80^o или 100^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6512
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	9
задача
Номер	5