ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108179
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S1, а вершины B и D – на окружности S2, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.


Решение

Пусть O – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, а прямая MO вторично пересекает окружность S1 в точке N1, а окружность S2 – в точке N2. Поскольку точка O лежит внутри каждой окружности, то точки N1 и N2 лежат по одну сторону от O. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд  MO·ON1 = AO·OC = BO·OD = MO·ON2,  поэтому  ON1 = ON2.  Значит, точки N1, N2 и N совпадают, а точка O лежит на отрезке MN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6526
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 97.4.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .