|
|
 |
Условие
Окружность с центром O вписана в четырёхугольник ABCD
и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках
E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF
пересекаются в точке K , прямая DO и отрезок EF –
в точке N , а прямые BK и CN – в точке M . Докажите,
что точки O , K , M и N лежат на одной окружности.
Решение
Пусть вписанная окружность четырёхугольника ABCD касается его
стороны AB в точке P . Из точек P и E отрезок OB виден
под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
OB . Докажем, что на этой окружности лежит и точка K .
Действительно, поскольку POA – половина центрального угла POF
вписанной окружности данного четырёхугольника, а PEF – угол, вписанный
в эту окружность, то POA =
PEF . Поэтому
POK =
PEK .
Значит, точка K лежит на окружности, проходящей через точки P , O и E ,
т.е. на окружности с диаметром OB
Из доказанного следует, что
BKO = 90o . Аналогично докажем,
что
CND = 90o . Значит, из точек K и N отрезок OM
виден под прямым углом. Следовательно, точки O , K , M и N лежат на
окружности с диаметром OM .
