Задача 108218
|
|
 |
Условие
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы lA , lB , lC , lD внешних углов этого четырёхугольника. Прямые lA и lB пересекаются в точке K , прямые lB и lC – в точке L , прямые lC и lD – в точке M , прямые lD и lA – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.Решение
Пусть продолжения сторон BC и AD данного четырёхугольника ABCD пересекаются в некоторой точке P (случай BC || AD разберём отдельно). Для определённости считаем, что точка P лежит на продолжении стороны BC за точку B .
Поскольку K – точка пересечения биссектрис lA и lB треугольника APB , то K – центр вписанной окружности этого треугольника. Аналогично, точка M – центр вневписанной окружности треугольника CPD . Значит, точки P , K и M лежат на одной прямой m – прямой, содержащей биссектрису угла CPD .
Пусть прямая m пересекает описанную окружность треугольника ABK в точке K' , отличной от K . Обозначим
С другой стороны, точка K'' пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A и B треугольника ABP также лежит на прямой m и
Поскольку
В случае BC || AD точки K и M , а также O1 и O2 лежат на прямой m – средней линии трапеции или параллелограмма ABCD.
Пусть описанные окружности треугольников ABK и CDM касаются внешним образом. Их точка касания I лежит на прямой m и поэтому совпадает с K' и с точкой пересечения биссектрис внутренних углов при вершинах C и D данного четырёхугольника.
Таким образом, I – точка пересечения биссектрис всех внутренних углов четырёхугольника ABCD . Значит, в этот четырёхугольник можно вписать окружность, а I – центр этой окружности.
Обратно, если ABCD – описанный четырёхугольник, а I – центр вписанной в него окружности, то AI
Поэтому точка I лежит на описанной окружности треугольника ABK и диаметрально противоположна точке K . В то же время, точка I лежит на описанной окружности треугольника CDM и диаметрально противоположна точке M . Таким образом, I лежит на прямой m и является точкой внешнего касания описанных окружностей этих треугольников.
Итак, утверждение о том, что описанные окружности треугольников AKB и CDM касаются внешним образом, равносильно тому, что четырёхугольник ABCD – описанный. Но то же самое справедливо и для пары окружностей, описанных около треугольников BCL и DAN , откуда следует утверждение задачи.
