Дана последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, в которой a₁ не делится на 5 и для всякого n  a_n+1 = a_n + b_n,  где b_n – последняя цифра числа a_n. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

   Решение

На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.

   Решение

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.

Подсказка

Докажите, что расстояние между точками касания окружностей со стороной AB вдвое меньше стороны AB.

Решение

  Пусть M – середина AB, h – высота к боковой стороне, O и O' – центры окружностей, r – радиус, первая окружность касается прямых AB, AC и CD соответственно в точках E, G и H, а вторая – прямых AB, BC и CD – в точках F, K и L. Тогда
EF = HL = CL – CH = CK – CG = CB + BK – (CA – AG) = BF + AE,  следовательно,  EF = ½ AB = AM.  Далее можно рассуждать по разному.

  Первый способ. По доказанному  S_ECF = ½ S_ABС.  Значит,  S_AOCE = S_AOE + S_EOC = ½ r(AE + EM) = ½ rAM,  аналогично
S_BO'CF = S_BO'F + S_FO'C = ½ rAM.  Отсюда  rAC = S_AOC + S_BO'C = (S_AOC + SAOCE) + (S_BO'C – S_BO'CF) = S_ACE + S_BCF = ½ S_ABC = ¼ h∙AC.

 Второй способ. Из  EF = AM  следует, что  MF = AE.  Значит, треугольники OAE и O'MF равны. Проведём из M касательную MP к второй окружности.  ∠CAE = 2∠OAE = 2∠O'MF = ∠PMF,  поэтому  MP || BC.  Следовательно, перпендикуляр, опущенный из M на BC, равен диаметру окружности, то есть 2r. Но он, очевидно, равен ^h/₂.

Замечания

1. 7 баллов.

2. В несколько другой формулировке задача предлагалась в Задачнике "Кванта" (задача М1284).

Источники и прецеденты использования