Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус его описанной окружности.

   Решение

---

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax¹¹ + bx⁴ + c = 0,  bx¹¹ + cx⁴ + a = 0,  cx¹¹ + ax⁴ + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

   Решение

---

Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.

   Решение

---

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

   Решение

---

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

Подсказка

Пусть  AB = c,  AC = b  – данные стороны треугольника ABC. Через вершину C проведите прямую, параллельную медиане BK.

Решение

  Предположим, что нужный треугольник ABC построен. При этом  AB = c  и  AC = b  – две его данные стороны, а медианы CD и BK перпендикулярны. Через вершину C проведём прямую, параллельную BK. Пусть эта прямая пересекает продолжение стороны AB в точке E. Поскольку  BK || EC,  а K – середина AC, то B – середина AE.

  Отсюда вытекает следующее построение. Отметим середину D отрезка AB. На продолжении отрезка AB за точку B отложим отрезок  BE = AB.  На отрезке DE как на диаметре построим окружность. С центром в точке A радиусом, равным b, построим вторую окружность. Если эти окружности пересекаются, то каждая точка пересечения есть искомая вершина C треугольника ABC.
  Задача не имеет решения, если  AC < AD  или  AC > AE, то есть отношение большего из данных отрезков к длине меньшего превосходит 2.

Источники и прецеденты использования