Дана таблица n×n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., n  так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

   Решение

На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?

   Решение

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?

   Решение

Числа a, b, c таковы, что  a²(b + c) = b²(a + c) = 2008  и  a ≠ b.  Найдите значение выражения  c²(a + b).

   Решение

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что   f(y) = f(x) + y.  Найдите наибольшее возможное значение a.

   Решение

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
  а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
  б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

   Решение

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка O, причём  ∠OAD = ∠OCD.  Докажите, что  ∠OBC = ∠ODC.

   Решение

Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка O, причём  ∠OAD = ∠OCD.  Докажите, что  ∠OBC = ∠ODC.

Решение

  Первый способ. Пусть при параллельном переносе на вектор     точка O перешла в точку E (рис. слева). Тогда AOED – параллелограмм, поэтому  ∠OED = ∠OAD = ∠OCD.
  Значит, точки C, E, O и D лежат на одной окружности. Вписанные углы ODC и OEC равны, а так как BOEC – параллелограмм, то  ∠OEC = ∠OBC.  Следовательно,  ∠OBC = ∠ODC.

           

  Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку O параллельно сторонам AD и BC, пересекает стороны AB и CD соответственно в точках K и M (рис. справа), а прямая, проведённая через точку O параллельно сторонам AB и CD, пересекает стороны BC и AD соответственно в точках L и N. Тогда  ∠CMO = ∠CDA = ∠ONA,  значит, треугольники OAN и OCM подобны по двум углам. Поэтому  AN : CM = ON : OM.  Поскольку  ∠OLB = ∠OND  и при этом  BL : LO = AN : CM = ON : OM = DM : OM,  то треугольники OBL и ODM подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
∠LBO = ∠ODM, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования