Задача 108639

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот треугольника, проведённых из вершин A и C, пересекают окружность в точках E и F соответственно, D произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.

Подсказка

См. задачу 55463.

Решение

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC. Точки, симметричные H относительно сторон треугольника, лежат на описанной окружности (см. задачу 55463), поэтому  ∠HEL = ∠EHL,  ∠AHK = ∠AFK.  Вписанные углы AED и AFD равны, значит,  ∠EHL = ∠HEL = ∠AED = ∠AFD = ∠AFK = ∠AHK.  Следовательно, точки K, H и L лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4455