Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

   Решение

Четырёхугольник ABCD — вписанный. Докажите, что

= .

   Решение

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

   Решение

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω₁ в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равно отношению радиусов окружностей ω₁ и ω₂.

   Решение

В числе  a = 0,12457...  n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе    Докажите, что α – иррациональное число.

   Решение

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В числе  a = 0,12457...  n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе    Докажите, что α – иррациональное число.

Решение

Пусть это не так: 0,12457... – периодическая десятичная дробь с длиной периода m (и неким предпериодом). Тогда цифры, стоящие на местах с номерами m, 10m, 100m, ..., 10^km, ..., совпадают (для номеров, больших длины предпериода). В то же время это последовательные цифры десятичного разложения иррационального числа    (то есть непериодической дроби). Противоречие.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования