В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

   Решение

Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

   Решение

Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.

   Решение

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В основании A₁A₂...A_n пирамиды SA₁A₂...A_n лежит точка O, причём  SA₁ = SA₂ = ... = SA_n  и  ∠SA₁O =  ∠SA₂O = ... = ∠SA_nO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

Решение

  По теореме синусов для треугольников SA_kO  (k = 1, 2, ..., n)  
  Так как правая часть этого равенства не зависит от выбора  k = 1, 2, ..., n,  величина sin∠SOA_k также не зависит от этого выбора. Следовательно, при различном выборе k величина угла SOA_k может принимать не более двух различных значений, каждое из которых вместе с величинами длин SO, SA_k и угла SOA_k однозначно определяет треугольник SA_kO.
  Если  n ≥ 5,  то среди треугольников SA_kO  (k = 1, 2, ..., 5)  есть по крайней мере три одинаковых. Пусть это, для определенности, треугольники SA₁O, SA₂O и SA₃O. Так как  OA₁ = OA₂ = OA₃, точка O – центр описанной окружности треугольника A₁A₂A₃. Пусть SH – высота пирамиды SA₁A₂A₃. Тогда точка H также является центром описанной около A₁A₂A₃ окружности, то есть  H = O.
  При  n = 4  из условия не следует, что SO – высота пирамиды. Например, если A₁A₂A₃A₄ – равнобокая трапеция, O – точка пересечения её диагоналей, H – центр описанной около неё окружности, то для пирамиды SA₁A₂A₃A₄, в которой SH является высотой к основанию, выполнены все условия задачи. Действительно, во-первых,   SA₁ = SA₂ = SA₃ = SA₄  в силу равенства (по двум катетам) треугольников SHA₁, SHA₂, SHA₃ и SHA₄, а во-вторых,
∠SA₁O = ∠SA₂O = ∠SA₃O = ∠SA₄O  в силу равенства (по трём сторонам) равнобедренных треугольников SA₁A₃ и SA₂A₄. При этом  H ≠ O.  При  n ≤ 4  из условия тем более не следует, что SO – высота пирамиды (соответствующий пример получается из предыдущего рассмотрением его части – пирамиды SA₁A₂A₃ ).

Ответ

При  n = 5.

Источники и прецеденты использования