Задача 109505

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Общие четырехугольники ] [ Углы между биссектрисами ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Средняя линия треугольника ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M – середина стороны AD. Известно, что  ∠BMC = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Решение 1

  Пусть O, K, L – середины отрезков BC, AC и BD соответственно, P – точка пересечения прямых AC и BD. Точки K, L различны (иначе ABCD – ромб и
∠BMC < ∠BPC = 90°).  Поскольку углы BKC, BMC и BLC прямые (медианы в равнобедренных треугольниках являются высотами), точки K, M, L лежат на окружности с диаметром BC. Хорда  KM = ½ CD = OC  как средняя линия треугольника ACD, поэтому треугольник KOM равносторонний и  ∠MOK = 60°.  Аналогично  ∠MOL = 60°,  поэтому  ∠KOL = 120°.  Вписанный угол KBL опирается на дугу KL или её дополнение, поэтому равен 60° или 120°. В любом случае это означает, что в прямоугольном треугольнике BKP угол B равен 60°, поэтому  ∠BPK = 30°.

Решение 2

  Треугольники ABC и BCD равнобедренные, поэтому биссектрисы углов ABC и BCD перпендикулярны диагоналям четырёхугольника ABCD. Следовательно, достаточно найти угол между этими биссектрисами.
  Отразим вектор    относительно биссектрисы угла ABC, а потом – относительно биссектрисы угла BCD. При этом он повернётся на удвоенный угол между этими биссектрисами. С другой стороны, он, очевидно, перейдёт в вектор   .   Но угол между векторами    и    равен углу между средними линиями OK и KM треугольников ABC и ACD  ,   которые являются сторонами равностороннего треугольника KOM  (OM = ½ BC = ½ AB = ½ CD).  Значит, угол между    и    равен 60°, а угол между указанными биссектрисами – 30°.

Ответ

30°.

Замечания

1. На Московской олимпиаде в условие было включено требование выпуклости четырёхугольника. Предъявленные решения годятся как для выпуклого, так и для невыпуклого четырёхугольника (и даже для случая самопересекающейся замкнутой ломаной).

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	8
задача
Номер	6
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4689
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	28
Дата	2006/2007
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	6