Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Натуральные числа d и d' > d – делители натурального числа n. Докажите, что d' > d + d²/n.
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
|
|
 |
Условие
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Решение
Пусть длины сторон треугольника равны a, b, c. Из формулы Герона имеем: 16S² = P(P – 2a)(P – 2b)(P – 2c), где S – площадь, а P = a + b + c – периметр треугольника.
Допустим, что S – целое число. Тогда P чётно (если P нечётно, то 16S² нечётно, что не так). Следовательно, либо числа a, b, c – чётные, либо среди них одно чётное и два нечётных.
В первом случае, так как a, b, c – простые числа, a = b = c = 2, и площадь треугольника равна , то есть нецелая.
Во втором случае будем считать, что a = 2, а b и c – нечётные простые числа. Если b ≠ c, то |b – c| ≥ 2, и неравенство треугольника не выполнено. Следовательно, b = c. Подставив, получим S² = b² – 1, или (b – S)(b + S) = 1, что невозможно для натуральных b и S.
