Версия для печати
Убрать все задачи

---

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM . Окружность радиуса 5 проходит через вершину K , касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A . Найдите угол MKL и площадь треугольника KLM , если ML=9 , KA:LB=5:6 .

   Решение

---

Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, AC и AB соответственно. На продолжении отрезка C₁B₁ отложен отрезок B₁K по длине равный . Известно, AA₁ = BC. Докажите, что AB = BK.

   Решение

---

От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
  а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
  б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?

   Решение

---

В справочнике "Магия для чайников" написано:
  Замените в слове ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ одинаковые буквы на одинаковые цифры, а разные – на разные.
  Если полученное число окажется простым, случится настоящее землетрясение.
Возможно ли таким образом устроить землетрясение?

   Решение

---

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что лучи A₁A, B₁B и С₁C являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что AA₁, BB₁ и СС₁ – высоты треугольника ABC.

   Решение

---

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательные проекции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Решение

Пусть A_nA₁ – самая короткая (одна из них) сторона многоугольника A₁A₂.. A_n с равными углами. Тогда A_nA₁ A₁A₂ и A_nA₁ A_n-1A_n . Предположим, что многоугольник не имеет других, кроме A_nA₁ сторон, не превосходящих соседних с ними. Пусть A_mA_m+1 – самая длинная (одна из них) сторона многоугольника. Тогда A_nA₁<A₁A₂<A₂A₃<..<A_mA_m+1 , так как если A_k-1A_k A_kA_k+1 , то наименьшая среди сторон A_kA_k+1 , A_m-1A_m не длиннее соседних с ней. Аналогично A_nA₁<A_n-1A_n<..<A_m+1A_m+2<A_mA_m+1 . Отложим векторы , i=1 , n от одной точки: = 1041. Тогда +...+=+...+= , и, следовательно, сумма проекций , i=1 , n , этих векторов на любую прямую l₁ равна . Возьмем в качестве l₁ прямую, перпендикулярную биссектрисе l угла B₁OB_m . Из условия следует, что B₁OB₂=..= B_m-1OB_m= , поэтому пары лучей [OB₁) и [OB_m) , [OB₂) и [OB_m-1) , симметричны относительно прямой l . Для нечетного m , m=2s-1 , без пары останется луч [OB_s) , лежащий на l . Соответственно, векторы i=1 , m , разобьются на пары противоположно направленных векторов, причем OC₁<OC_m , OC₂<OC_m-1 , (если m=2s+1 , то = ). Таким образом, +...+=₁ , где ₁ – направленный вверх вектор. Аналогично, ++...+=₂ , где ₂ сонаправлен с ₁ и хотя бы один из векторов ₁ и ₂ ненулевой. Но тогда +...+=₁+₂ . Противоречие, следовательно найдется отличная от A_nA₁ сторона многоугольника, не превосходящая соседние с ней стороны.

Источники и прецеденты использования