Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении  1 : 2.

б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?

   Решение

---

В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что  BM·CN > KM·KN.

   Решение

---

На плоскости даны треугольник ABC и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника ABC. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

---

Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.
Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите высоту пирамиды.

   Решение

---

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

   Решение

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Решение

Пусть  – m ≤ – n  – целые корни трёхчлена  x² + px + q. Тогда  m + n = p,  mn = q, следовательно,  m, n > 0,  0 < mn ≤ 1997,  n ≤ m ≤ 1997.  Рассмотрим трёхчлен  x² + nx + mn.  Его коэффициенты – целые числа от 1 до 1997, и оно не имеет корней, так как  D = n² – 4mn = n(n – 4m) < 0.  Итак, каждому трёхчлену с целыми корнями мы поставили в соответствие трёхчлен, не имеющий корней; при этом разным трёхчленам сопоставлены разные. Кроме того, трёхчлены вида  x² + px + q,  где p чётно, q нечётно и  D < 0,  не представимы в виде  x² + nx + mn.  Значит, трёхчленов, не имеющих корней, больше.

Ответ

Больше трёхчленов, не имеющих корней.

Источники и прецеденты использования