Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;2) параллельно прямой 2x - 3y + 4 = 0.

   Решение

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

   Решение

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4 .

   Решение

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T₀+at+bt² , где T₀ = 1160 К, a = 34 К/мин, b = -0,2 К/ мин² . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

   Решение

Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?

Решение

Подойдут, например, числа a=5555554445 , b=5554445555 , c=4445555555 . Убедимся в этом: S(a+b)=S(11110000000)<5 , S(a+c)=S(10001110000)<5 , S(b+c)=S(10000001110)<5 , S(a+b+c)=S(15555555555)=51>50 . Как можно найти такие числа? Заметим, что S(2(a+b+c))=S((a+b)+(a+c)+(b+c)) S(a+b)+S(a+c)+S(b+c)12 , т.е. число n=2(a+b+c) при делении на 2 должно резко увеличивать свою сумму цифр. Такое возможно, если в числе много единиц, тогда в частном появится много пятерок. Возьмем, например, n=31111111110 , тогда S(n)=12 , а S()=51 . Разложим n на три слагаемых с суммой цифр 4 и меньших : n=11110000000+10001110000+10000001110 , а затем решим систему уравнений a+b=11110000000 , a+c=10001110000 , b+c=10000001110 .

Ответ

Найдутся.

Источники и прецеденты использования