Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.
В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.
В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.
а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?
б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?
а) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многоугольник, то есть многоугольник, стороны которого лежат на линиях листа бумаги в клетку?
б) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многогранник, то есть многогранник, составленный из одинаковых кубиков, примыкающих друг к другу гранями?
Найдите все такие нечётные натуральные n > 1, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a + b – 1 также является делителем n.
|
|
 |
Условие
Найдите все такие нечётные натуральные n > 1, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a + b – 1 также является делителем n.
Решение
Пусть p – наименьший простой делитель числа n. Представим n в виде pmk, где k не делится на p. По условию число p + k – 1 является делителем n.
Если (p + k – 1, k) > 1, то (p – 1, k) = (l, k) > 1. Таким образом, число k имеет какой-то делитель d, 2 ≤ d ≤ p – 1. Противоречие с выбором числа p. Следовательно, p + k – 1 = pα.
Пусть α ≥ 2. Тогда p² и k – взаимно простые делители числа n, то есть p² + k – 1 – делитель числа n. При этом p² + k – 1 взаимно просто с k, поскольку в противном случае k имеет общий делитель с p² – 1 = 2(p – 1)· ½(p + 1), что снова противоречит выбору числа p. Значит, p² + k – 1 = pβ, где β ≥ 3. Но тогда pβ = p² + k – 1 = p² + (p + k – 1) – p = p(p + pα–1 – 1), что не делится на p². Противоречие.
Следовательно, k = 1, то есть n = pm. Нетрудно убедиться, что все такие числа удовлетворяют условию.
Ответ
n – степень нечётного простого числа.
