|
|
 |
Условие
Даны многочлены P(x), Q(x). Известно, что
для некоторого многочлена R(x, y) выполняется равенство
P(x) – P(y) = R(x, y)(Q(x) – Q(y)).
Докажите, что существует такой многочлен S(x), что P(x) = S(Q(x)).
Решение
Предположим противное: рассмотрим многочлены P(x), Q(x), для которых наше утверждение неверно и степень P(x) – наименьшая из возможных. Обозначим степени P и Q через n и k соответственно. При домножении многочленов на ненулевые константы условие не меняется, поэтому будем считать P(x) и Q(x) приведёнными. Ясно, что n > 0, иначе можно положить S(x) = P(x) = 1.
Лемма. n делится на k.
Доказательство. Старшей компонентой TC(x, y) многочлена T(x, y) от двух переменных будем называть сумму всех составляющих его одночленов, степень которых максимальна (так, у многочлена x³ + 3xy² + x – 2y² старшей компонентой является x³ + 3xy²). Заметим, что старшая компонента произведения равна произведению старших компонент. Поэтому xn – yn = (P(x) – P(y))C = RC(x, y)(xk – yk), то есть многочлен xn – yn делится на xk – yk.
Если n = mk + r – результат деления n на k с остатком, то xn – yn = xr(xmk – ymk) + ymk(xr – yr). Первое слагаемое делится на xk – yk, поэтому и
ymk(xr – yr) делится на xk – yk. Однако его степень по x меньше k, значит, r = 0.
Пусть n = mk. Рассмотрим многочлены P1(x) = P(x) – Qm(x) и Q(x). Для них условие задачи выполнено:
P1(x) – P1(y) = (R(x, y) – (Qm–1(x) + Qm–2(x)Q(y) + ... +
Qm–1(y)))(Q(x) – Q(y)). Кроме того, степень P1(x) меньше, чем степень P(x); поэтому P1(x) = S1(Q(x)) для некоторого многочлена S1(x). Тогда, положив S(x) = S1(x) + xm, получаем противоречие с выбором P(x), так как P(x) = P1(x) + Qm(x) = S(Q(x)).
