ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109803
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.


Решение

  Если ABCD– трапеция (скажем,  AB || CD),  то прямые L'L и N'N имеют общую точку пересечения с серединным перпендикуляром к AB, на котором лежат K, K', M и M'.
  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые BC и AD – в точке F (см. рис.).

  Заметим, что точки K' и M' лежат на биссектрисе угла CFD (так как они равноудалены от прямых BC и AD). Пусть эта биссектриса пересекает AB и CD в точках P и Q соответственно.
  Так как четырёхугольник ABCD – вписанный и FP – биссектриса угла CFD, то  ∠FAP = ∠FCQ  и  ∠PFA = ∠CFQ,  то есть треугольники AFP и CFQ подобны. Значит,  ∠EPQ = ∠FPA = ∠FQC = ∠EQP.  Следовательно, биссектриса угла AED является высотой равнобедренного треугольника EPQ. Поскольку L' и N' лежат на этой биссектрисе, то  K'M'L'N'.  Но биссектриса угла AED перпендикулярна KM, поэтому  KM || K'M'.  Аналогично  LN || L'N'.  Прямая KL перпендикулярна биссектрисе угла ABC, а значит, параллельна биссектрисе внешнего угла B, следовательно,  K'L' || KL  (аналогично  L'M' || LM).  Таким образом, у треугольников KLM и K'L'M' соответствующие стороны параллельны, а значит, они гомотетичны.
  При этой гомотетии K переходит в K', а M – в M', и так как параллельные прямые переходят в параллельные, то прямые KN и MN переходят в K'N' и M'N' соответственно, значит, N переходит в N'. Следовательно, прямые KK', LL', MM', NN' проходят через центр гомотетии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 04.5.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .